TUGAS STRUKTUR AL JABAR

GROUP SIKLIK

Definisi

Misalkan G suatu Group dan a elemen G. dan terdapat bilanagn bulat terkecil, kita anggap saja m sedemikian hingga am=e. apabila ada bilangan bulat positif m demikian itu tidak ada, maka dikatakan priode a adalah takhingga atau nol.

Dengan sedikit mengingat kembali fakta pada teorema 4.2, yaitu:

Jika G suat group (G) dan a G, maka

H={an: nZ}, fakta ini dikatakan subgroup dari G yang dibangun oleh a.

Teorema 1.1 semua group siklik adalah komutatif

Proof. Misalkan G=<a>={an; nZ}

Jika g1g2G, maka r,sZ, dengan definisi siklik diatas maka diperoleh

g1=ar, g2=as

dengan operasi perkalian diperoleh

g1g2= ar as= ar+s= as+r= as. ar= g2 g1

jadi, G group komutatif Q.E.D.

Lemma 1.1 jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka tedapat secara unik bilangan bulat q dan r sehingga

n=mq+r dan                 0r<m.

Teorema 1.2

Subgroup dari group siklik juga siklik

Akibat 1.2 subgroup-subgroup dari Z terhadap operasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n elemen bilangan bulat.

Klasifikasi group siklik

Definisi 2.1

Misalkan n suatu bulangan positif; h dan k adalah sebarang bilangan bulat. Terdapat bilanagn bulat r sehingga

h+k=nq+r untuk 0r<m adalah jumlah modulo n dari h dan k

Teorema 2.1

Himpunan {0,1,2,3,…,n-1} adalah group siklik Zn dengan operasi jumlah modulo

Subgroup dari group siklik hingga

Group siklik dalam klasifikasinya sudah dilewati dans ekarang untuk subgroupnya. Akibat I 1.2 memberikan informasi yang cukup lengkap tentang subgroup siklik dari subgroup berorder tak hingga.

Sekarang saatnya diberikan pendekatan berupa gambaran yang terkait dengan pembangun dari subgroup siklik.

Teorema 2.2

Misalkan g group siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. misalkan bG, dan misalkan b=as. maka b membnagun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, dimana d adalah pembagi sekutu terbesar (FPB) dari n dan s.

Akan diberikan suatu pendekatan berupa contoh aplikasi yang akan diberikan

Contoh 2.1

Pandang Z12 dengan pembangun a=1. Dengan memilih 3, maka diperoleh FPb dari 3 dan 12 adalah 3, maka jumlah angotanya (order)=12/3=4 elemen, yaitu <3>={0,3,6,9}.

Sekarang pandang 8, maka FPB dari 8 dan 12 adalah 4, maka jumlah elemennya, yaitu 12/4=3; <8>={0,4,8}

Maka pengertiannya cukup jelas denga diberikannya contoh pada Z12.

Dari teorema tersebut dapat disempulkan, yaitu:

Jika a adalah pembangun dari group siklik hingga yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar dimana r dan n relative prime(prima dari group yang berkaitan), yang mana berarti pembagi sekutu terbesar  dari n dan r adalah 1.

Atau dalam refrensi lain, yaitu:

Misalkan G suatu group siklik dengan generator a dan berorder n, suatu bilangan bulat positif m<n, am adalah generator dari G jika dan hanya jika (m,n)=1.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: