Struktur Aljabar

ISOMORFISME

Dua buah group misal G dan G’ dikatakan isomorf apabila G dan G’ sama secara struktur, sama secara struktur banyak mengandung pengertian yang ambigu, untuk memperjelas pengertian tersebut maka alangkah baiknya jika kita mengikuti argument berikut “setiap x EG dengan x’EG’.  Ini jelas bisa dilihat sebagai suatu fungsi psi dengan domainnya adalah G.  Bisa dilihatbahwa dua elemen berbeda X dan y memiliki peta yang berbeda x’=xQ dan y’=yQ sehingga fungsi Q mestilah satu-satu.  Dan juga setiap elemen di G’ pasti memiliki prapeta di G, sehingga Q(psi) pastilah bersifat pada.  Dan terakhir, jika dua grup tadi punya struktur yang sama dan jika kita namakan operasi pada G adalah * dan operasi pada G’ adalah*’, maka x*y harus punya peta x’*Y’.

Definisi Sebuah isomorfisma dari grup G ke grup G’ adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu pada dari G ke G’ dan untuk setiap x dan y di G berlaku

(xy)Q=(xQ)(yQ)

Grup G dan G’ kemudian dikatakan isomorf, dan diberi notasi G=G’

Teorema Jika Q:G_G’ suatu isomorfisma dari G ke G’, dan e adalah identitas dari G maka eQ identitas dari G’.  Dan juga

a-1Q=(aQ)-1 untuk semua a elemen G

Dari definisi dan teorema yang telah dipaparkan maka sekarang saatnya kita tentukan bagaimana dua atau lebih group dikatakan isomorf dan bgaimana sebaliknya.

v     Dua group dikatakan isomorf jika memenuhi empat langkah berikut, yaitu:

langkah 1          Definisikan fungsi Q yang akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke G’.  Ini berarti kamu mesti mendeskripsikan (dengan cara tertentu) berupa apa xQ di G untuk semua x di G.

langkah 2 Tunjukkan Q satu-satu

langkah 3 Tunjukkan Q pada

Tunjukkan(xy)Q=(xQ)(yQ)

langkah 4       untuk semua x,y elemen G

v     Suatu group tidak isomorf jika salah satu dari keempat langkah tersebut tidak dipenuhi, maka cukup dengan itu dua group yang bersangkutan tidak isomorf.

Untuk lebih mendekatkan pada pemahaman mendalam tentang dua group yang isomorf maka akan diberikan pada contoh berikut.

Contoh Akan kita tunjukkan bahwa R  terhadap operasi penjumlahan isomorf terhadap R+ terhadap perkalian.

LANGKAH 1              Untuk x elemen R, definisikan xQ=ex.  Ini merupakan pemetaan Q memetakan R ke R+

LANGKAH 2 Jika xQ=yQ akibatnya  ex = ey sehingga x=y  Ini menunjukkan Q pemetaan satu-satu.

LANGKAH 3  Jika r elemen R+ maka ln r elemen R, kemudian (ln r)Q=elnr=r.  Sehingga Q bersifat pada.

LANGKAH 4  Untuk x,y elemen R, kita punya (x+y)Q=e(x+y)=eX.eY

Jadi telah dibuktikan bahwaQ suatu isomorfisma.

Dan untuk non-isomorf

Contoh. misalkan pada grup Z dan rasional, keduanya terhadap operasi jumlah, tidak isomorf. karena Z siklik sementara rasional tidak siklik.

Dengan adanya kedua contoh masing-masing pernyataan yang mengatakan keisomorfismeyan dan ketidak isomorfismeyan bisa jelas dapat dipahami.

Sumber refrensi

Pengantar Aljabar Abstrak dan Resuma I Gede Adhitya Wisnu Wardana.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: